1. 1. Визначення
2. 2. Основні властивості похідної вищого порядку
3. 4. Формула Лейбніца
4. 5. Геометричний і фізичний зміст
5. 6. Достатні умови локального екстремуму
6. 7. Диференціали вищого порядку
7. 8. Похідні вищих порядків від неявно заданої функції

У цьому розділі ми визначимо поняття похідної вищого порядку, розглянемо деякі класичні приклади і визначаємо геометричний і фізичний зміст похідної другого порядку

1. Визначення

Нехай f (x) - функція, безперервно диференціюється на відрізку [a, b]. Тоді від неї можна взяти похідну на цьому відрізку f '(x) і якщо вона диференційовна в деякій точці x відрізка, то від неї так само в цій точці можна взяти похідну і позначатися вона буде f' '(x), це похідна називається похідною другого порядку функції f - окремий випадок похідною вищого порядку.

Похідною n- го порядку називається похідна від похідної (n-1) порядку функції f. Звичайно, похідна вищого порядку може і не існувати. Позначається похідна n-го порядку в такий спосіб: (fn) (x).

2. Основні властивості похідної вищого порядку

Виділяють два властивості похідних вищого порядку:

1. Якщо з - константа, то n-ая похідна від с * f (x) дорівнює с * (n-ую похідну від f (x)), тобто константу можна виносити за рамки похідною
2. Якщо необхідно взяти похідну від суми двох функцій, то вона дорівнює сумі похідних цих функцій

Доказ обох цих властивостей, проводиться за допомогою методу математичної індукції і визначення похідної вищого порядку.

В цьому розділі наведемо приклади похідних вищого порядку:

Приклад 1. Функція xm має похідну будь-якого порядку, при цьому, якщо n <= m, то похідна n-го порядку (xm) n = n * (n-1) * .... (Nm + 1) x (nm ), а якщо n> m, то похідного n-го порядку дорівнює нулю.

Приклад 2. (ax) n = (ln a) n * ax і відповідно (ex) n = ex (n-ая похідна е в ступені x дорівнює е в ступені х, а ln e = 1).

Приклад 3. Розглянемо функцію y = sinx.

Перша похідна: y '= cosx = sin (x + pi / 2)

Друга похідна: y '' = sin (x + 2pi / 2)

n-ая похідна: yn = sin (x + n * pi / 2)

Аналогічно можна вивести, формулу для (cosx) n = cos (x + n * pi / 2)

4. Формула Лейбніца

Для похідних вищого порядку так само є формула Лейбніца і звучить вона так: якщо функція f = uv, де u і v в свою чергу, самі є функціями і при тому мають похідну в деякій точці x n-го порядку, тоді і функції f має похідну n-го порядку в точці x, і виражається вона за формулою Лейбніца:

fn (x) = Σ i = 0 до n (Cni * ui * vn-i), де Cni - біноміальні коефіцієнти.

Доказ цієї формули відбувається по індукції.

5. Геометричний і фізичний зміст

Як відомо, геометричний сенс першої похідної функції f (x) в деякій точці x-тангенс кута нахилу дотичної до цієї точки. А друга похідна функції відображає опуклість графіка в точці.

Тобто, якщо f '' (x)> 0, то функція в цій точці має опуклість донизу, і якщо провести дотичну до цієї точки, то повинна існувати деяка околиця цій точці, що графік функції в цій околиці лежить над графіком.

Аналогічно, якщо f '' (x) <0, то функції в точці є опуклою догори і це означає, що існує деяка околиця точки, така що графік функції в цій околиці лежить під дотичній.

Механічний або фізичний зміст другої похідної - це прискорення тіла. За змістом взагалі похідна - це швидкість зміни функції, таким чином, прискорення можна розуміти як швидкість зміни швидкості (швидкість - фізичний зміст першої похідної).

Цей ланцюжок міркувань можна продовжити для похідних вищих порядків: Третя похідна має сенс швидкість зміни прискорення тіла і т.д.

Як правило, якщо змінної функції є час, то прийнято позначати похідні не штрихом, а точкою над функцією.

6. Достатні умови локального екстремуму

У цьому розділі ми сформулюємо достатні умови існування локального екстремуму.

Для початку, нагадаємо, що достатня умова існування локального екстремуму функції одного змінного полягає в тому, що перша похідна функції в точці екстремуму завжди або дорівнює нулю, або не існує.

Тепер, сформулюємо достатні умови, припускаючи, що у нас є функція f (x) диференційована в деякому околі точки x0 (при цьому існування похідної в самій точці не обов'язково), тоді:

1. 1. Якщо похідна при переході через точку x0 змінює свій знак з плюса на мінус, то x0- точка локального максимуму функції
   2. Якщо з мінуса на плюс - локального мінімуму
   3. Якщо не похідна не змінює знак, то в точці x0 немає локального екстремуму функції.
2. Нехай в точці x0 існує друга похідна функції f (x) не дорівнює нулю, тоді:
   1. Якщо f '' (x0)> 0, то x0 - локальний мінімум функції
   2. Якщо f '' (x0) <0, то x0 - локальний максимум функції
3. Нехай функція в точці x0 дифференцируема n раз, і при цьому n-ая похідна в точці не дорівнює нулю, тоді:
   1. Якщо n - парне і fn (x0)> 0 -то x0 точка локального мінімуму функції
   2. Якщо n - парне і fn (x0) <0 -то x0 точка локального максимуму функції
   3. Якщо n-непарне, то в точці x0 немає екстремуму

7. Диференціали вищого порядку

Аналогічно похідною вищого порядку можна дати визначення диференціалу вищого порядку:

Розглянемо функцію f, визначену і диференційовану на (a, b), тоді df = f '(x) dx - будемо називати диференціалом першого порядку в точці x, відповідним приросту незалежної змінної dx

Диференціал другого порядку визначається, як d2 (f) = d (df) і так далі, диференціал n-го порядку dn (f) = d (dn-1 (f)) і в разі, коли x - незалежна змінна, отриманий вираз можна переписати:

З цієї рівності так само слід, що похідну функції f n-го порядку можна представити у вигляді:

де в чисельнику стоїть диференціал n-го порядку. Відповідний збільшенню, вказаною в знаменнику дробу.

Вище ми розглянули випадок незалежної змінної.

Тепер розглянемо y як функцію залежною змінне, тобто нехай y = p (u), де u = g (x) і нехай p і g мають достатню кількість похідних.

Тоді диференціал функції y можна представити у вигляді:

Тобто вийшло вираз першого диференціала y через du. У підсумку, ми визначили диференціал y як твір похідною f '(x) на dx, вважаючи тут x - незалежна змінна, і як твір похідною по залежною змінною u на приріст du.

Виходить, dy інваріантна щодо будь-якої змінної u. Однак для диференціалів вищого порядку це правила вже не завжди справедливо, тобто для n> 1 і u не рівне x dny не дорівнює pn (u) dun.

Якщо ж u = x, то цей вислів справедливо з визначення. Твердження про відсутність інваріантності диференціала вищого порядку легко можна перевірити для випадку диференціала другого порядку.

8. Похідні вищих порядків від неявно заданої функції

Розглянемо функцію y = f (x), задану неявно рівнянням F (x; y) = 0.

Для того, щоб знайти похідну Вищого порядку цієї функції необхідно спочатку продифференцировать це рівняння по x і вийшло рівняння дозволити щодо y '. Після цього, можна продифференцировать рівняння на y 'ще раз і підставити в нього y' з попереднього рівняння таким чином отримавши значення y '', виражені через змінні x і y.

Для знаходження похідних вищого порядку необхідно продовжити ці дії по індукції.

Рішення: Продифференцируем x2 + y2 = 1 по х, тоді отримаємо: 2x + 2y * y '= 0, звідси

Для знаходження другої похідної продифференцируем отриманий вираз: y '' = (y-xy ') / y2 і підставимо значення y', тоді y '' = - (y2 + x2) / y3, підставляючи вихідної рівняння, отримуємо: y '' = -1 / y3.

Наступним кроком беремо чергову похідну і аналогічно підставляємо значення вже отриманих похідних.