1. Інші записи:

Гаррі Марковіц
The Journal of Finance , Том 7, №1, стор. 77-91
Березень 1952 р

Процес формування портфеля (цінних паперів) можна розділити на два етапи. Перший етап полягає в аналізі історичних даних і формуванні очікувань щодо майбутньої прибутковості доступних для інвестування інструментів. Другий етап в якості відправної точки спирається на очікування щодо майбутньої прибутковості, а метою має остаточний вибір портфеля. У даній роботі розглядається саме другий етап.

В першу чергу ми обговоримо принцип формування портфеля, відповідно до якого інвестор прагне досягти найбільшого очікуваного майбутнього наведеного доходу. Ми прийдемо до того, що цей принцип потрібно відкинути, як в якості гіпотези, що пояснює фактичне поведінка інвесторів, так і в якості рекомендації до дії. Далі ми проаналізуємо інше правило вибору портфеля, відповідно до якого інвестор розглядає (повинен розглядати) збільшення доходу як бажаний, а збільшення дисперсії доходу як небажаний результат інвестування. Є багато даних, що підтверджують можливість застосування цього правила і як керівного принципу, і як гіпотези для пояснення поведінки учасників ринку. Ми геометрично зобразимо відносини між оцінкою інвестором ринкових умов і вибором портфеля, грунтуючись на правилі «очікувана прибутковість - дисперсія дохідності» (так зване правило «Е-V»).

* * * Отже, спочатку ми розглянемо правило, яке описує вибір портфеля, згідно з яким інвестор прагне (повинен прагнути) отримати найбільшу наведену прибутковість. Оскільки майбутнє не є однозначно визначеним, необхідно використовувати «очікувану» окупність, яку ми дісконтіруем, приводячи до доларів сьогоднішнього дня. На практиці можуть застосовуватися різні версії цього правила. Згідно Дж. Р. Хікс, при обчисленні очікуваної прибутковості може бути використаний певний допуск на ризик, також різний рівень ризику можна враховувати, використовуючи різні значення ставки дисконтування.

Автор стверджує, що гіпотеза, або рекомендація, згідно з якою єдиним критерієм є збільшення дисконтованої доходності, повинна бути відкинута. Основна причина цього полягає в тому, що якщо ми не візьмемо до уваги неефективність ринку, з вищезазначеного правила не слід перевагу диверсифікованих портфелів перед недиверсифікованими. У той же час, як нескладно помітити, диверсифікація є важливим фактором майбутньої прибутковості портфеля. Правило поведінки, з якого годі було перевагу диверсифікованих портфелів над недиверсифікованими, не може бути прийнято до розгляду як гіпотеза і як рекомендація.

З вищезазначеного правила не випливає необхідність диверсифікації при будь-якому способі оцінки майбутніх доходів, будь-якому виборі (однакових або різних) ставок дисконтування, а також динаміки ставок дисконтування в часі. Рекомендованим поведінкою інвестора, виходячи з гіпотези, є вкладення всіх наявних в його розпорядженні коштів в один цінний папір з найбільшою наведеної прибутковістю. Якщо ж є дві і більше цінних паперів з однаковою наведеної прибутковістю, інвестору буде байдуже, в яку з них або в яку їх комбінацію вкладати.

Ми можемо уявити аналітичне обгрунтування цього твердження. Припустимо, що є N цінних паперів. позначимо
rit - очікуваний дохід в момент часу t на кожен долар, інвестований в цінний папір i
dit - фактор дисконтування, застосовуваний до доходу, принесеному i-тій цінним папером в момент t
Xi - Частка коштів, інвестованих в цінний папір i

У даній роботі ми виключимо з розгляду випадок коротких продажів, тому Xi ≥ 0 при будь-якому i. Таким чином, наведений очікуваний дохід портфеля цінних паперів може бути описаний формулою

∞ N N ∞ R = Σ Σ ditritXi = Σ Xi (Σ ditrit) t = 1 i = 1 i = 1 t = 1

Позначимо приведений дохід i-ої цінного паперу Ri = Σ tditrit. Таким чином, маємо R = Σ iXiRi, де Ri не залежить від Xi. Так як Xi ≥ 0 для всіх i, і Σ iXi = 1, то R являє собою лінійну комбінацію Ri з невід'ємними ваговими коефіцієнтами Xi. Для досягнення максимального значення R нам необхідно покласти Xi = 1 для i з найбільшим Ri і Xj = 0 для інших j ≠ i.

Якщо рівне максимальне значення приймає кілька Ri, а саме Ria, де a = 1, ... K, то будь-який розподіл коштів, при якому Σ aXia = 1 веде до максимальних значень R. Ні при яких значеннях вихідних даних диверсифікований портфель не є краще недиверсифікованого, якщо прийняти такий підхід до оптимізації.

Далі розглянемо статичну модель, тобто замість розгляду часових рядів доходу від i-тій цінного паперу виду (ri1, ri2, ... rit, ...), будемо розглядати «постійний потік доходів» (ri) від i-ої цінного паперу. Потік доходів від портфеля в цілому можна обчислити як суму R = Σ iXiri. Так само, як і в динамічному випадку, інвестор, який прагне збільшити очікуваний дохід від інвестиційного портфеля, помістить всі доступні засоби в цінний папір з максимальною очікуваною прибутковістю.

* * * Існує інше правило розподілу активів, яке дійсно призводить до того, що інвестор прагне і до диверсифікації і до збільшення очікуваного доходу. Правило говорить, що інвестор розподіляє (повинен розподіляти) кошти між усіма паперами, що дають найбільший очікуваний дохід. Стверджується, що відповідно до закону великих чисел, фактичний дохід від інвестицій в цьому випадку буде приблизно дорівнює очікуваному. Це правило є окремим випадком правила «очікувана прибутковість - дисперсія дохідності» (обговорюється нижче). Метод передбачає, що існує портфель, що дає одночасно найбільший очікуваний дохід і мінімальну дисперсію. Даний портфель і рекомендується інвестору.

Однак, припущення, що закон великих чисел застосуємо до портфелю цінних паперів, не може бути прийнято для всіх випадків, оскільки доходи від цінних паперів не є незалежними випадковими величинами. А значить, диверсифікація не здатна усунути всю невизначеність. Портфель з найбільшим очікуваним доходом, зовсім не обов'язково є портфелем, з мінімальною дисперсією. Існує якась «ціна» низькою дисперсії: для зниження дисперсії портфеля інвестор, переходячи до деякого іншого портфеля, «жертвує» високої очікуваною прибутковістю.

* * * Як видно з вищесказаного, правило очікуваного або оціненого доходу є незадовільним. Тепер розглянемо правило «очікуваної прибутковості - дисперсії прибутковості» (правило «EV»). В першу чергу ми представимо ряд основних понять математичної статистики. Потім, будуть показані слідства правила «EV». Після цього ми обговоримо можливість застосування даного методу.

В рамках даної роботи, ми намагаємося уникати складних математичних викладок і доказів. Як наслідок, описувана модель стає менш загальної та суворої. Основне обмеження полягає в тому, що ми, по-перше, не розглядаємо випадок n цінних паперів. Замість цього ми аналізуємо геометрично випадки трьох і чотирьох цінних паперів. А по-друге, ми розглядаємо випадок постійних (в часі) імовірнісних розподілів прибутковості. У більш загальному випадку розподіл усіх розподіл доходів від цінних паперів має змінюватися з часом. Автор має намір в майбутньому розробити математичний апарат, який дозволить розглядати це завдання в загальному вигляді.

Нам будуть потрібні в такому значенні математичної статистики. Нехай Y - випадкова величина. Це означає, що її значення визначається в ході деякого процесу, результат якого не визначений заздалегідь. Для полегшення уявлення, припустимо, що Y може приймати кінцеве число значень y1, y1, ... yN. Позначимо ймовірність того, що Y = y1, як p1, того що Y = y2, як p2 і т. Д. Математичне сподівання Y визначається за формулою:

E = p1 y1 + p2 y2 + ... pN yN Дисперсія Y визначається наступним чином: V = p1 (y1 - E) ² + p2 (y2 - E) ² + ... pN (yN - E) ² V (дисперсія випадкової величини Y) дорівнює математичному очікуванню квадрата відхилення Y від його математичного очікування. V найбільш часто використовується в якості запобіжного «розкиду» величини навколо її середнього значення. Іншими заходами розкиду, пов'язаними з V є середньоквадратичне відхилення σ = √V і коефіцієнт варіації σ / E.

Припустимо, що у нас є кілька випадкових величин R1, ... Rn. Їх лінійна комбінація (зважена сума, сума з коефіцієнтами),

R = a1R1 + a2R2 + ... + anRn також є випадковою величиною (Як приклад нехай R1 - число, яке випало на одному гральному кубику, R2 - відповідно, на другому, а R - сума цих чисел. В даному випадку n = 2, a1 = a2 = 1).

Надалі нам знадобиться зв'язок математичного очікування і дисперсії лінійної комбінації (R) з розподілом R1, ... Rn. Дані співвідношення будуть приведені нижче без доказу, читач, який бажає ознайомитися з їх доказом, може звернутися до будь-якого вступного курсу математичної статистики.

Математичне сподівання лінійної комбінації є лінійною комбінацією математичних очікувань з тими ж коефіцієнтами:

E

R = a1 E R1 + a2 E R2 + ... + an E Rn Визначення дисперсії лінійної комбінації виражається дещо складніше. Для її подання, нам буде потрібно поняття «ковариация». Коваріація випадкових величин R1 і R2 визначається формулою σ12 = E {(R1 - E R1) (R2 - E R2)}, т. Е. Математичне сподівання добутку відхилення R1 від його математичного очікування і відхилення R2 від його математичного очікування. Аналогічно ковариация між Ri і Rj визначається за формулою σij = E {(Ri - E Ri) (Rj - E Rj)}, σij може бути виражена через коефіцієнт кореляції (ρij). Коваріація між Ri і Ri дорівнює добутку коефіцієнта кореляції Ri і Ri і середньоквадратичних відхилень Ri і Rj: σij = ρijσiσj Дисперсія лінійної комбінації визначається формулою N N N V (R) = Σ ai2 V (Ri) + 2 Σ Σ aiajσij i = 1 i = 1 j> i

Якщо скористатися тим, що дисперсія Ri дорівнює σii, тоді отримаємо:

N N V (R) = Σ Σ aiajσij i = 1 j = 1

тут Ri - дохідність i-тій цінного паперу,
μi - математичне очікування Ri,
σij - коваріація між Ri і Ri (таким чином, σii є дисперсією Ri),
Xi - частка коштів інвестора, розміщених в i-тій цінним папером.

Прибутковість портфеля в цілому, отже, буде складати R = Σ iXiRi, при цьому Ri (і відповідно R) розглядаються як випадкові величини. Xi не є випадковими величинами, вони вибираються інвестором. Оскільки Xi є ваги цінних паперів в портфелі, то їх сума повинна дорівнювати одиниці: Σ iXi = 1.

В рамках даного аналізу, негативні значення Xi (т. Е. Короткі продажі) будуть виключені з розгляду, отже, Xi ≥ 0 при будь-якому i.
Дохід портфеля в цілому являє собою лінійну комбінацію випадкових величин, в якій інвестор має можливість вибирати вага кожної з них. Виходячи з викладеного вище, очевидно, що математичне очікування Е прибутковості портфеля в цілому буде визначатися формулою

E = Σ iXiμi а дисперсія V = Σ i Σ jσijXiXj При заданих величинах (μi, σij) інвестор має можливість вибрати одну з безлічі комбінацій E і V, змінюючи ваги цінних паперів портфеля (X1, X2, ... XN). Нехай безліч доступних комбінацій (E, V) описується фігурою, зображеної на малюнку 1.

Правило «EV» говорить, що інвестор прагне вибрати портфель, відповідний комбінаціям з мінімальним V для заданого і великих значень E і з максимальним E для заданого і менших значень V. Ми будемо називати їх «ефективні портфелі». Можна вказати методи, які допомагають обчислювати форму множини ефективних портфелів і ефективних комбінацій (E, V) для даних μi і σij. У цій роботі такі методи в деталях не розглядаються. Замість цього, ми представимо геометричну ілюстрацію поверхонь, що дають ефективні (в зазначеному вище сенсі) комбінації цінних паперів для випадку, коли N невелика.

Метод визначення поверхонь, що дають ефективні комбінації цінних паперів, дійсно може бути використаний на практиці. Припустимо, що існує спосіб вивести досить якісні оцінки (μi, σij) на основі комбінації статистичних методів і експертних суджень. Отримані значення можуть бути використані для обчислення досяжних ефективних комбінацій (E, V). Далі, інвестор, що володіє інформацією про досяжних комбінаціях (E, V), може вказати з них найбільш бажаних для себе. Після цього нескладно знайти портфель, що дає зазначену комбінацію.

Застосування методів пошуку безлічі ефективних портфелів (межі ефективності) передбачає виконання як мінімум двох умов. По-перше, інвестор повинен прийняти в якості керівництва до дії правило «EV». По-друге, ми повинні мати можливість отримати досить достовірну оцінку μi і σij. До розгляду цих моментів повернемося пізніше.

Розглянемо варіант, при якому портфель формується з трьох цінних паперів. У цьому випадку модель приводиться до вигляду

3 3 (2) V = Σ Σ XiXjσij i = 1 j = 1

(4) Xi ≥ 0 для i = 1, 2, 3

З (3) отримуємо

(3 ') X3 = 1 - X1 - X2

Далі, підставляючи (3 ') в рівняння (1) і (2), отримаємо E і V, виражені через X1 і X2.

Точні формули в даній ситуації не настільки важливі, проте наведемо їх тут для повноти викладу:

(1 ') E = μ3 + X1 (μ1 - μ3) + X2 (μ2 - μ3)

(2 ') V = X12 (σ11 - 2σ13 + σ33) + X22 (σ22 - 2σ23 + σ33) + 2X1X2 (σ12 - σ13 - σ23 + σ33) + 2X1 (σ13 - σ33) + 2X2 (σ23 - σ33) + σ33

Надалі будемо використовувати просто умови

(A) E = E (X1, X2)

(B) V = V (X1, X2)

(С) X1 ≥ 0; X2 ≥ 0; 1 - X1 - X2 ≥ 0.

До виразами (а), (b), (c) можна застосовувати інструменти геометрії на площині.

Досяжне безліч портфелів представлено точками, що задовольняють умовам (с) і (3 ') (або еквівалентним їм (3) і (4)). Можливі комбінації X1 і X2 заповнюють собою трикутник abc на малюнку 2. Будь-яка точка зліва від осі X2 недосяжна, оскільки порушує умову X1 ≥ 0. Будь-яка точка нижче осі X1 також недосяжна, оскільки порушує умову X2 ≥ 0. Будь-яка точка над лінією 1 - X1 - X2 = 0 недосяжна, т. к. для таких точок порушується умова, X3 = 1 - X1 - X2 ≥ 0

Введемо поняття ізолінії очікуваного доходу, що складається з усіх точок (портфелів) з заданим очікуваним доходом. Також, введемо поняття ізолінії дисперсії, що складається з усіх точок (портфелів) із заданою дисперсією доходу. Формули для E і V дозволяє визначити форми изолиний очікуваного доходу і дисперсії. Як правило, ізолінії очікуваного доходу це система паралельних прямих, ізолінії дисперсії - система концентричних еліпсів (див. Рисунок 2). Дійсно, якщо μ2 ≠ μ3, рівняння (1 ') може бути записано в формі X2 = a + bX1. А саме з (1) випливає, що

X2 = (E-μ3) / (μ2-μ3) - (μ1-μ3) / (μ2-μ3)

Таким чином, кутовий коефіцієнт ізолінії очікуваного доходу, пов'язаної з E = E0 дорівнює

- (μ1-μ3) / (μ2-μ3)

а її вільний член

(Μ2-μ3) / (E0-μ3)

Надаючи різні значення E, ми прийдемо до різних вільним членам, але кутовий коефіцієнт, а значить і нахил ізолінії очікуваного доходу, залишиться незмінним. Це доводить справедливість твердження про те, що ізолінії очікуваного доходу - система паралельних прямих.

Також, застосовуючи кілька менш елементарні інструменти аналітичної геометрії, можна довести, що ізолінії дисперсії - система концентричних еліпсів. Центром системи буде точка, в якій значення V буде найменшим. Назвемо цю точку X. Очікуваний дохід і дисперсію в цій точці будемо називати E і V. Дисперсія буде збільшуватися при видаленні від X. Точніше, якщо якась изолиния дисперсії C1 лежить ближче до X, ніж C2, то C1 буде відповідати меншій дисперсії, ніж C2.

Використовуючи даний геометричний апарат, перейдемо до пошуку кордону ефективності.

Точка X - центр системи еліпсів - изолиний дисперсії, може лежати як в межах досяжного безлічі, так і поза ним. На малюнку 2 зображено ситуацію, при якій X лежить в межах досяжного безлічі. У такій ситуації X належить множині ефективних портфелів. Дійсно, не існує портфеля, що має меншу V (при настільки ж великому E) або більше E (при настільки ж малому V), оскільки не існує взагалі жодної точки з меншим V. Жодна точка (портфель) з очікуваним доходом E меншим, ніж E не може бути ефективною. Таким чином, E> E, і V> V.

Розглянемо всі крапки з даними очікуваним доходом E, т. Е. Все точки на ізолінії очікуваного доходу, що відповідає доходу E. Точка ізолінії очікуваного доходу, в якій V приймає найменше значення, є точкою, в якій изолиния очікуваного доходу стосується ізолінії дисперсії. Позначимо цю точку X (E) При змінах E, X (E) буде рухатися уздовж деякої лінії. Алгебраїчні обчислення, що опускаються в рамках цієї роботи, показують, що дана лінія є прямою. Назвемо її критичної лінією l.
Вона проходить через точку X, в якій V приймає найменше значення серед усіх точок, що відповідають умові E (X1, X2) = E. При русі по l від X в будь-якому напрямку V буде збільшуватися.

Відрізок крітічної Лінії від X до точки Перетин з кордоном досяжного безлічі, є частина кордону ефектівності. Друга частина кордону ефектівності (в описування випадки) відрізок прямої ab від d до b; де b - точка з максимальним можливий значення E.

На малюнку 3 точка X лежить за межами досяжною зони, критична лінія проходити через досяжну зону. Лінія ефектівності почінається в досяжною точці з найменших дісперсією (в даного випадка, вона находится На лінії ab). Лінія проводиться в напрямку точки b до перетину з критичної лінією, далі вздовж критичної лінії до перетину з іншого кордоном досяжного безлічі, і, нарешті, вздовж іншої кордону до точки b.

Малюнок 3

Читач може побажати вивчити і інші варіанти.

1. X лежить поза досяжного безлічі і критична лінія не проходить через нього. У такій ситуації існує цінний папір, яка не входить ні в один ефективний портфель.
2. Дві цінні папери мають однакові μi. У такій ситуації, ізолінії очікуваного доходу паралельні кордоні трикутника abc. Це може привести до того, що ефективним портфелем з найбільшим E стане диверсифікований портфель.
3. Існує тільки один ефективний портфель.

* * * Ефективне безліч для варіанту з чотирма цінними паперами (також як для варіантів з трьома або N> 4 цінними паперами) являє собою набір замкнутих ліній. На одному кінці ефективної безлічі лежить точка найменшої дисперсії, на іншому - точка максимального очікуваного доходу (див. Рис. 4).

Після розгляду безлічі ефективних портфелів, зрозуміти характер безлічі ефективних комбінацій (E, V) нескладно. Для варіанту з трьома цінними паперами, графік E буде являти собою площину, а V - параболоїд: E = a0 + a1X1 + a2X2

V = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2 + b11X12 + b22X22

Малюнок 5

Як показано на малюнку 5, частина графіка E, побудованого над безліччю ефективних портфелів являє собою ламану. У свою чергу, частина графіка V (що є параболоїдом) над безліччю ефективних портфелів являє собою набір послідовно з'єднаних сегментів параболи. При цьому, якщо зобразити ефективні портфелі на площині змінних (E, V), ми знову отримаємо набір з'єднаних сегментів параболи (див. Рис. 6). Результат справедливий для будь-якого набору цінних паперів.

За безлічі причин рекомендується використання правила «EV» як в якості гіпотези для пояснення розумного інвестиційного поведінки, так і в якості керівництва до дії. Слід втім відзначити, що правило краще підходить саме для «інвестиційного», а не «спекулятивного» поведінки. * * * Раніше ми відкинули правило очікуваної прибутковості, так як з нього не слід перевагу диверсифікації. Правило «Е-V», навпаки, призводить до необхідності диверсифікації для широкого діапазону вихідних μi і σij. На цьому годі було, проте, що правило «EV» ніколи не встановить в якості рекомендації недиверсифікований портфель. Цілком можлива ситуація, при якій якась цінний папір буде мати настільки велику прибутковість і настільки низьку дисперсію (щодо інших цінних паперів), що недиверсифікований портфель, що складається тільки з цього паперу, буде володіти найбільшим E і найменшим V з можливих.
Однак, в істотній і ймовірно репрезентативною вибіркою μi і σij, практично всі ефективні портфелі при використанні правила «Е-V» виявляться диверсифікованими.

Гіпотеза «EV» має на увазі не просто диверсифікацію, а «правильну» диверсифікацію по «правильної» причини. Достатність диверсифікації не визначається одним лише кількістю цінних паперів різних компаній. Так, портфель з 60 цінними паперами різних залізничних компаній, не може вважатися настільки ж якісно диверсифікованим, як портфель того ж розміру, що включає в себе цінні папери залізничних, енергозбутових, гірничодобувних, виробничих і інших компаній. Причина цього полягає в тому, що, як правило, одночасне виникнення труднощів у кількох компаній більш ймовірно, якщо ці компанії належать одній галузі.

Таким чином, для зменшення дисперсії портфеля недостатньо просто вкладати гроші в велику кількість цінних паперів. Одночасно слід уникати розміщення коштів в цінні папери c високою кореляцією фінансових результатів. Диверсифікацію слід проводити і між галузями, оскільки поведінка цінних паперів компаній різних галузей (особливо галузей, успіх яких залежить від різних макроекономічних тенденцій) мають меншу кореляцією, ніж компаній з однієї галузі.

Терміни «дохідність» і «ризик» згадуються в наукових роботах на тему фінансів досить часто. Як правило, під «прибутковістю» мають на увазі «очікуваний дохід», а «ризик» виражений кількісно через «дисперсію прибутковості».

Дисперсія - поширена міра «розкиду» величини навколо її середнього значення. Якщо ж замість дисперсії інвестор вирішить застосувати середньоквадратичне відхилення σ = √V або коефіцієнт варіації σ / E, то отриманий результат як і раніше буде перебувати серед введеного нами безлічі ефективних портфелів.

* * * Тепер припустимо, що інвестор розподіляє кошти між двома портфелями (т. Е. Вкладає частину грошей в один портфель, і частина - в інший. Прикладом диверсифікації між портфелями служить покупка акцій двох інвестиційних фондів.) Якщо два вихідних портфеля мають однакову дисперсією , то, як правило, дисперсія отриманого складеного портфеля буде менше, ніж дисперсія кожного з вихідних.

Малюнок 7

Дана ситуація показана на малюнку 7. Щоб пояснити малюнок 7, відзначимо, що портфель (P), створений на основі двох портфелів P '= (X'1, X'2) і P "= (X" 1, X " 2) має вигляд P = λP '+ (1 - λ) P "= (λX'1 + (1 - λ) X" 1, λX'2 + (1 - λ) X "2) точка P лежить на прямій, з'єднує P 'і P ".

Як уже зазначалося, правило «EV» більш застосовно для інвестиційного, а не спекулятивного поведінки. Третій момент M3 (для випадкової величини R, яка приймає кінцеве число значень r1, ... rN з вірогідністю p1, ... pN за визначенням M3 = Σ ipi (ri - E) ³) розподілу ймовірності доходів від портфеля може бути пов'язаний зі схильністю до ризику.

Наприклад, прагнучи досягти максимальної корисності U, що залежить від E і V (U = U (E, V), ∂U / ∂E> 0, ∂U / ∂V <0), інвестор ніколи не зробить справедливу (ставку, при якої виграна сума кратна ймовірності виграшу) ставку.

Однак, за умови U = U (E, V, M3) і ∂U / ∂E> 0, ∂U / ∂V <0 і ∂U / ∂M3 ≠ 0 існує деяка кількість справедливих ставок, які можуть бути прийняті.

* * * Зрозуміло, для значного числа інвесторів, які вважають дохід позитивним аспектом, а ризик - негативним, і прагнуть уникнути спекулятивних дій, правило «Е-V» може бути застосовано як в якості робочої гіпотези, так і в якості рекомендації до дій. Напрошуються дві основні області застосування принципу «Е-V». Принцип може бути використаний в теоретичному аналізі поведінки інвесторів або для вибору об'єкта реальних інвестицій на фондовому ринку.

У теоретичному аналізі можливо, наприклад, вивчення різних ефектів при зміні очікувань, пов'язаних з конкретною компанією або загальних змін переваг між очікуваною доходом і дисперсією доходу, або змін пропозиції цінних паперів. При аналізі в якості Xi може виступати окремий цінний папір чи композити, що включають, наприклад облігації, акції та частки в нерухомості. Результати, отримані за цим методом для композитів слід інтерпретувати з обережністю, однак тут ми не заглиблюємося в обговорення виникаючих складнощів при переході від індивідуальних паперів до композитам.

При використанні правила «Е-V» для формування портфеля необхідно вибрати алгоритм визначення прийнятних вихідних μi і σij. Автор вважає, що такий метод буде поєднувати статистичний аналіз історичних даних і експертні судження. Статистичні розрахунки можуть використовуватися для попереднього визначення μi, і σij. Потім, на підставі експертних суджень, можуть бути зроблені коригування значень виходячи з факторів, які не можуть бути враховані в обчисленнях на основі історичних даних. Маючи на руках уточнені μi, і σij, можна обчислити ефективні комбінації (E, V). Після цього, інвестор зможе вибрати бажану для нього комбінацію, що дозволяє підібрати ефективний портфель, який має характеристиками саме обрані E і V.

У цьому дослідженні було розглянуто другий етап процесу вибору портфеля. Другий етап спирається на установку розумних очікувань щодо майбутньої прибутковості цінних паперів і закінчується вибором портфеля. Перший етап, що полягає в аналізі історичних даних і формуванні очікувань щодо майбутньої прибутковості доступних для інвестування цінних паперів, в даному дослідженні не розглядався.

Інші записи: