Розстановка наголосів: А`ЛГЕБРА ФУ`НКЦІЙ

АЛГЕБРА ФУНКЦІЙ - напів комутативна Банаха алгебра А, реалізована у вигляді алгебри безперервних функцій на просторі максимальних ідеалів. Якщо а ∈ А і f - недо-раю функція, певна на спектрі елемента a (т. Е. На безлічі значень функції â = а), то f (a) є недо-раю функція на . Умова f (a) ∈ A, звичайно, не повинно виконуватися. Якщо, проте, f - ціла функція, то f (a) ∈ A для будь-якого а ∈ А. Використання інтегральної формули Коші дозволяє істотно посилити цей результат: якщо функція f регулярна в деякої околиці спектра елемента а, то f (a) ∈ A, і відображення f → f (а) є гомоморфизмом А. ф., аналітичних в деякої околиці спектра елемента а ∈ а, в алгебру А. Це твердження залишається справедливим і для неполупростих комутативний Банахової алгебри. Крім того, клас функцій, аналітичних в околиці спектра даного елемента, може виявитися не розширюваним: напр., Якщо A = L1 (ℤ) і f (a) ∈ A для всіх а ∈ А, спектр яких брало належить відрізку [0, 1], то f аналітична в деякої околиці цього відрізка.

В окремих випадках елемент f (a) можна визначити і для багатозначних аналитич. функцій f, але це визначення зустрічає природні труднощі. Напр., Нехай А - алгебра безперервних функцій в колі | z | ≤ 1 аналітичних в колі | z | <1 і б відповідала умовам f '(0) = 0. Єдиний коло природно ототожнюється з простором максимальних ідеалів А. Безперервна на просторі максимальних ідеалів функція f1 (z) = z не належить алгебрі А, але є рішенням квадратного рівняння

де z2 ∈ A.

Якщо А - напів алгебра з простором максимальних ідеалів А, f ∈ С (X),

р '(f) ∈ ε (A) (простий корінь), то f ∈ A. Аналогічно, якщо f ∈ С (X) і exp f ∈ A, то f ∈ A.

А. ф. наз. алгеброю з рівномірною збіжністю, якщо норма в цій алгебрі визначає відповідність, еквівалентну рівномірної збіжності функцій â на просторі максимальних ідеалів. Якщо || А2 || = || а || 2 для всіх а ∈ А, то А - алгебра з рівномірною збіжністю. Загальним прикладом алгебри з рівномірною збіжністю є замкнута подалгебра в алгебрі обмежених неперервних функцій на деякому топологіч. просторі, наділеною природною sup-нормою.

Якщо А - алгебра з рівномірною збіжністю, і її простір максимальних ідеалів метрізуемості, то серед всіх кільцевих кордонів (не тільки замкнутих) існує мінімальна межа Г0, замиканням к-рій служить межа Шилова. Безліч Г0 складається з «точок піку»: х0 наз. точкою піку, якщо існує така функція f ∈ A, що | f (х) | <| F (х0) | для всіх х ≠ х0. В даному випадку для будь-якої точки з простору максимальних ідеалів існує представляє міра, зосереджена на Г0.

А. ф. наз. аналітичної, якщо будь-яка функція з цієї алгебри, рівна нулю на непорожньої відкритому підмножині простору максимальних ідеалів, дорівнює нулю тотожно. Аналогічно визначаються алгебри, аналітичні щодо кордону. Будь-яка аналитич. алгебра є аналітичної щодо кордону Шилова; зворотне, взагалі кажучи, невірно.

А. ф. А зв. регулярної, якщо для будь-якого замкнутого безлічі F в просторі А максимальних ідеалів алгебри А і будь-який не міститься в F точки х0 знайдеться така функція f ∈ A, що f (x) = 1 для всіх x ∈ F і f (х0) = 0. будь-яка регулярна алгебра нормальна, т. е. для будь-якої пари непересічних замкнутих множин F, F0 ⊂ X існує елемент f ∈ A такий, що f (x) = 1 для всіх x ∈ F і f (x0) = 0 для всіх x ∈ F0. Більш того, в регулярній алгебри для будь-якого кінцевого відкритого покриття {Ui}, 1 ≤ i ≤ m, простору X є розбиття одиниці, що належить А, т. Е. Система функцій f1, ..., fn ∈ A, для яких брало

і

Функція g зв. локально належить А. ф. А, якщо для будь-якої точки х0 ∈ Х існує така околиця, в якій ця функція збігається з деякої функцією з алгебри. Будь-яка функція, локально належить регулярної алгебри, сама є елементом цієї алгебри.

Елемент f А. ф. наз. речовим, якщо f ^ (x) матеріально при всіх х ∈ Х. Якщо А - алгебра з речовими утворюють fα і

для всіх fα, то А регулярна.

Ідеал в банахових алгебри зв. примарний, якщо він міститься тільки в одному максимальному ідеалі. Якщо А - регулярна А. ф., То в кожному максимальному ідеалі х0 є найменший замкнутий примарний ідеал J (x0), к-рий міститься в будь-якому замкнутому примарной ідеалі, що міститься в х0; ідеал J (х0) є замикання ідеалу, утвореного функціями f ∈ A, рівними нулю в деякої (залежить від f) околиці точки х0 ∈ Х.

В алгебрі абсолютно сходяться інтегралів Фур'є c приєднаної одиницею всякий максимальний ідеал збігається з відповідним примарной ідеалом.

Нехай А - замкнута подалгебра алгебри С (X), де А - недо-рий компакт (не обов'язково збігається з простором максимальних ідеалів алгебри А). Нехай А розділяє точки компакта А, т. Е. Для будь-яких двох різних точок х1, х2 ∈ Х існує така функція f з алгебри А, для якої f (x1) ≠ f (x2). Алгебра A зв. симетричною, якщо разом з функцією f алгебри належить і функція . Згідно з теоремою Стоуна-Вейерштрасса, якщо А симетрична, то А = С (Х). Алгебра A зв. антисиметричною, якщо з умов f ∈ A, ∈ A випливає, що f - постійна функція. Антисиметричного є, зокрема, алгебри аналитич. функцій. Підмножина S ⊂ X зв. безліччю антисиметрії (щодо алгебри А), якщо будь-яка функція f ∈ A, речова на S, постійна на цій множині. Згідно з цим визначенням алгебра А антисиметрична, якщо все X є безліччю антисиметрії. У загальному випадку простір X можна представити у вигляді об'єднання непересічних замкнутих максимальних множин антисиметрії. Кожне максимальне безліч антисиметрії є перетином множин піку (безліч Р зв. Безліччю піку, якщо існує така функція f ∈ A, що f | P = 1 і | f (x) | <1 при х ∉ Р). Звідси випливає, що звуження А | Y алгебри А на максимальне безліч антисиметрії є замкнута (антисиметрична) подалгебра алгебри C (Y). Якщо X є простір максимальних ідеалів алгебри А, то максимальні безлічі антисиметрії зв'язні. Якщо безперервна функція така, що на кожному максимальному безлічі антисиметрії вона збігається з деякої функцією з алгебри А, то і сама ця функція належить А. Це узагальнення теореми Стоуна-Вейерштрасса дозволяє в принципі звести вивчення довільних алгебр з рівномірною збіжністю до вивчення антисиметричних алгебр А. Разом з тим вивчення довільних алгебр А не може бути зведене до аналітичних алгебрам: існує приклад алгебри типу R (X) (замкнутої подалгебри алгебри с (X)), яка не співпадає з с (X), антисиметричною і регулярно й.

Нехай Re A - речовий простір функцій виду Ref, де f ∈ A; якщо ReA - алгебра, або якщо ReA замкнуто в С (X), то А = С (Х). Простір X можна розглядати як частину простору максимальних ідеалів алгебри А; тому на X можна розглядати не тільки звичайну топологію простору максимальних ідеалів, але і метрику, індуковану вкладенням X в простір, поєднане А. Відстань в сенсі цієї метрики позначимо ρA. Для будь-яких точок x1, х2 ∈ X має місце нерівність ρA (x1, х2) ≤ 2; ставлення ρA (x1, х2) <2 є відношенням еквівалентності, і класи еквівалентності зв. частками Глісон. Якщо X - коло | z | ≤ 1 і А - замкнута подалгебра в С (X), що складається з аналітичних при | z | <1 функцій, то метрика ρA неевклидова, а частками Глисона служать одноточкові безлічі на кордоні і внутрішність круга. Частки Глисона не завжди володіють аналитич. структурою: будь σ-компактне цілком регулярне простір гомеоморфним частці Глисона простору максимальних ідеалів деякої алгебри, такий, що звуження алгебри на цю частку містить будь-яку обмежену безперервну функцію. Належність двох точок до однієї і тієї ж долі Глисона може бути охарактеризована в термінах представляють заходів на кордоні Шилова: такі дві точки мають взаємно абсолютно безперервними представляють заходами з обмеженими похідними. Алгебра, для якої ReA | Г щільно в С (Г), наз. алгеброю Діріхле; якщо Р - частка Глисона в просторі максимальних ідеалів алгебри Діріхле, що складається більш, ніж з однієї точки, то існує таке безперервне взаємно однозначне відображення ψ кола | z | <На Р, що для будь-якої функції f ∈ А функція f (ψ (z)) аналітична при | z | <1. Таким чином, Р володіє структурою, щодо к-рій функції f ∈ A аналітичне; відображення ψ, взагалі кажучи, не є гомеоморфізмом, якщо Р забезпечено звичайною топологією простору максимальних ідеалів, але ψ є гомеоморфізмом, якщо забезпечити Р метрикою ρA.

Літ. см. при статті Банаха алгебра.

Е. А. Горін.

джерела:

1. Математична Енциклопедія. Т. 1 (А - Г). Ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін.] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, тисячі сто п'ятьдесят два стб. з іл.