Інтерполяція функцій однієї та двох змінних

Крім функцій, заданих аналітично (т. Е. З допомогою елементарних функцій, значення яких легко можуть бути обчислені в будь-якій точці області визначення), на практиці часто доводиться мати справу з таблично заданими функціями. У цьому випадку функція задається своїми значеннями на деякому дискретній множині точок (вузлів) з області визначення. Якщо необхідно отримати значення функції в будь-якій точці, яка не співпадає з вузлом, використовують різні методи наближеного обчислення, які грунтуються на деяких апріорних припущеннях щодо цієї функції. При цьому сама процедура обчислення називається інтерполяцією в разі, коли точка належить заданій області, і екстраполяцією, якщо вона лежить поза області.

Як припущення про характер дискретно заданої функції найбільш часто використовуваних площ простий є те, що вона кусочно- лінійна, т. Е. Що в проміжках між вузлами вона поводиться відповідно до лінійного законом. Тоді інтерполяція називається лінійної, і цей метод ми будемо досить часто застосовувати в алгоритмах комп'ютерної графіки.

Нехай на площині задана система координат і відрізок на осі , На кінцях якого задані значення деякої лінійної функції ( Мал. 3.3 ). Тоді для будь-якої точки всередині заданого відрізка відповідне значення обчислюється за формулами

Мал.3.3.

Лінійна інтерполяція функції однієї змінної

Звернемося тепер до задачі інтерполяції функцій двох змінних. У цьому випадку найбільш простий також є інтерполяція за трьома заданим точкам знову ж за допомогою кусочно-лінійної функції. Нехай на площині заданий трикутник з вершинами і задані значення функції в цих точках . Тоді три точки визначають в просторі трикутник, який є плоскою фігурою. Передбачається, що площа трикутника більше нуля, або, як кажуть, трикутник невироджених. Для визначення значення функції в довільній точці , Що лежить всередині трикутника, скористаємося так званими барицентрична координатами цієї точки. Геометричний сенс цих координат полягає в тому, що вони дорівнюють відношенню площ трикутників, зображених на Мал. 3.4 :

Мал.3.4.

Лінійна інтерполяція функції двох змінних Ці числа невід'ємні і задовольняють наступним співвідношенням: Ці співвідношення будемо розглядати як рівняння для знаходження чисел .

Визначник цієї системи рівнянь є

і він по модулю дорівнює подвоєною площі трикутника, тому , Отже, система має єдине рішення при будь правій частині. Скористаємося формулами Крамера і випишемо вид цього рішення: де Після того як отримані барицентричні координати точки , Значення функції в ній розраховується по формулі

Існують добре розроблені методи гладкої інтерполяції функцій. Особливо часто при інтерполяції кривих і поверхонь використовуються сплайн-функції, які гладко "склеюються" з поліномів. Серед них слід виділити кубічні сплайни, які будуються з поліномів третього ступеня. Вони широко використовуються в інженерній геометрії завдяки простоті їх обчислення і іншим корисним властивостям. Ми їх розглянемо докладніше в наступних розділах.