Радіан (російське позначення: радий, міжнародне: rad; від лат. radius - промінь, радіус) - кут, відповідний дузі , Довжина якої дорівнює її радіусу [1] . Одиниця виміру плоских кутів в Міжнародній системі одиниць (СІ), а також в системах одиниць СГС і МКГСС [2] .

Радіанна міра - кутова міра , В якій за одиницю приймається кут в 1 радіан. Для прикладу: прямий кут в градусній мірі має 90 кутових градусів (по домовленості, це нізвідки не випливає). Той самий кут в радіанної міру має π / 2 {\ displaystyle \ pi / 2} радіан ≈ {\ displaystyle \ approx} 1,571 радіан. [3] . З визначення випливає, що величина повного кута в радіанної міру дорівнює 2 π радіан (див. рис. справа). У градусній мірі повний кут має 360 кутових градусів.

Визначити Радіан міру можна і так: Радіанна міра кута - відношення довжини дуги кола, що знаходиться між сторонами кута, до радіусу цього кола, коли центр окружності збігається з вершиною кута . В геометрії для визначення радіанної міри кута використовують одиничну окружність з центром у вершині кута; тоді Радіанна міра кута дорівнює довжині дуги одиничному колі між сторонами кута [4] [5] .

Оскільки довжина дуги кола пропорційна її кутовій мірі і радіусу, довжина дуги окружності радіуса R і кутовий величини α, яка вимірюється в радіанах, дорівнює α ∙ R.

Так як величина кута, виражена в радіанах, дорівнює відношенню довжини дуги кола ( м ) До довжини її радіусу ( м ), Кут в радіани вимірі - величина безрозмірна .

Пропорційне співвідношення радіана з іншими одиницями вимірювання кутів описується формулою:

очевидно, розгорнутий кут дорівнює 180 ∘, {\ displaystyle 180 ^ {\ circ},} або π ⋅ r r = π {\ displaystyle {\ frac {\ pi \ cdot r} {r}} = \ pi} радіанах. Звідси випливає тривіальна формула перерахунку з градусів, хвилин і секунд в радіани і навпаки.

де α [рад] - кут в радіанах, a [°] - кут в градусах.

1 рад (або p ∘ {\ displaystyle p ^ {\ circ}}) = 360 ∘ 2 π ≈ 57,295 779513 ∘ ≈ 57 ∘ 17 '44,806 "{\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ}} {2 \ pi}} \ approx 57 {,} 295779513 ^ {\ circ} \ approx 57 ^ {\ circ} 17'44 {,} 806 ''} (мнемонічне правило запам'ятовування в градусах-хвилинах-секундах: "Число радіана і порядок жартома пишу напам'ять ", де число букв у кожному слові дорівнює відповідній цифрі в запису значення радіана, до десятої частки кутової секунди)

p '{\ displaystyle p'} (або 1 рад в хвилинах) = 360 ∘ ⋅ 60 '2 π ≈ 3437,747' {\ displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot 60 '} {2 \ pi }} \ approx 3437 {,} 747 '}

p "{\ displaystyle p ''} (або 1 рад в секундах) = 360 ∘ ⋅ 60 '⋅ 60" 2 π ≈ 206 264, 8 ". {\ Displaystyle {\ frac {360 ^ {\ circ} \ cdot 60 '\ cdot 60' '} {2 \ pi}} \ approx 206264 {,} 8' '.}

У метричній системі кутових заходів прямий кут ділиться на 100 градів і кожен град на 100 сантіградов, який, в свою чергу, ділиться на соті частки сантіграда, так що
p `` {\ displaystyle p ^ {\ backprime \ backprime}} (або 1 рад в сотих частках «сантіграда») = 400 ⋅ 100 ⋅ 100 2 π = 636620. {\ displaystyle {\ frac {400 \ cdot 100 \ cdot 100} {2 \ pi}} = 636620.}
Вживати його практично не доводиться, так як метрична система кутових заходів поки не отримала широкого розповсюдження.

Щоб легше запам'ятати, як переводять радіани в градуси і назад, зауважимо:
Перекладаючи радіани в градуси (або в хвилини, або в секунди), ми з абстрактного числа (rad {\ displaystyle \ mathrm {rad}}) робимо іменоване (p ∘, p ', p "{\ displaystyle p ^ {\ circ} , p ', p' '}) і тому повинні множити на p ∘ ({\ displaystyle p ^ {\ circ} ~ (} або p', p ") {\ displaystyle p ', p' ')};
Перекладаючи градуси в радіани, ми, навпаки, знищуємо найменування: отримуємо абстрактне число; значить, тут треба ділити на p ∘ ({\ displaystyle p ^ {\ circ} ~ (} або p ', p "), {\ displaystyle p', p ''),} або ж множити на перевернуту дріб 1 p ∘ (1 p ', 1 p "). {\ Displaystyle {\ frac {1} {p ^ {\ circ}}} ~ ({\ frac {1} {p '}}, {\ frac {1} {p' '}}).}

Приклад 1. Перевести у радіани 5 ∘ 43 '46 ". {\ Displaystyle 5 ^ {\ circ} 43'46 ''.}

α [rad] ≖ 5 ∘ = 5 ∘ p ∘ rad = 0,087 2 6 {\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} [\ mathrm {rad}] \ eqcirc 5 ^ {\ circ} = {\ frac {5 ^ {\ circ}} {\ displaystyle {p ^ {\ circ}}}} ~ \ mathrm {rad} = 0 {,} 0872_ {6}} [10]

43 '= 43' p 'r a d = 0,012 5 08 {\ displaystyle 43' = {\ frac {43 '} {p'}} ~ \ mathrm {rad} = 0 {,} 0125_ {08}} [10]

46 "= 46" p "r a d = 0,000 2 23 {\ displaystyle 46 '' = {\ frac {46 ''} {p ''}} ~ \ mathrm {rad} = 0 {,} 0002_ {23}} [10]

Σ ≈ 0,099 9 9 r a d {\ displaystyle \ sum \ approx 0 {,} 0999_ {9} ~ \ mathrm {rad}} [10] = 0, 1 r a d {\ displaystyle = 0 {,} 1 ~ \ mathrm {rad}}

Альтернативний спосіб передбачає переклад хвилин і секунд в десяткові (соті і десятитисячні) частки градуса,
і одноразового ділення на p ∘: {\ displaystyle p ^ {\ circ}} (як правило, цей спосіб більш точний)

46 "= 46" 60 "= 0, 77 '{\ displaystyle 46' '= {\ frac {46' '} {60' '}} = 0 {,} {\ boldsymbol {77}}'}

43, 77 '= 43, 77' 60 '= 0, 7295 ∘ {\ displaystyle 43 {,} {\ boldsymbol {77}}' = {\ frac {43 {,} 77 '} {60'}} = 0 {,} {\ boldsymbol {7295}} ^ {\ circ}}

Σ = 5, 7295 ∘ {\ displaystyle \ sum = 5 {,} {\ boldsymbol {7295}} ^ {\ circ}}

5,729 5 ∘ = 5,729 5 ∘ p ∘ rad = 5,729 5 ∘ 57,295 ∘ = 0, 1 rad {\ displaystyle 5 {,} 7295 ^ {\ circ} = {\ frac {5 {,} 7295 ^ {\ circ}} {p ^ {\ circ}}} ~ \ mathrm {rad} = {\ frac {5 {,} 7295 ^ {\ circ}} {\ displaystyle {57 {,} 295 ^ {\ circ}}}} = 0 {,} 1 ~ \ mathrm {rad}}

Приклад 2. Перевести в градуси 1 радіан.

a [∘] ≖ 1 ⋅ 360 ∘ 2 π = 1 ⋅ 57,295 78 ∘ = 57, 29578 ∘ {\ displaystyle a [^ {\ circ}] \ eqcirc 1 \ cdot {\ frac {360 ^ {\ circ}} { 2 \ pi}} = 1 \ cdot 57 {,} 29578 ^ {\ circ} = 57 {,} {\ boldsymbol {29578}} ^ {\ circ}}

0, 29578 ∘ ⋅ 60 '= 17, 7468' {\ displaystyle 0 {,} {\ boldsymbol {29578}} ^ {\ circ} \ cdot 60 '= 17 {,} {\ boldsymbol {7468}}'}

0, 7468 '⋅ 60 "= 44,807" ≈ 45 "{\ displaystyle 0 {,} {\ boldsymbol {7468}}' \ cdot 60 '' = 44 {,} 807 '' \ approx 45 ''}

Разом ≈ 57 ∘ 17 '45 ". {\ Displaystyle \ approx 57 ^ {\ circ} 17'45 ''.}