Операції зі ступенями і корінням. Ступінь з негативним,

нульовим і дробовим показником. Про виразах, які не мають сенсу.

Операції зі ступенями.

1. При множенні ступенів з однаковим підставою їх показники складаються:

am · a n = am + n.

2. При розподілі ступенів з однаковим підставою їх показники віднімаються.

3. Ступінь твори двох або кількох співмножників дорівнює добутку ступенів цих співмножників.

(Abc ...) n = an · bn · cn ...

4. Ступінь відносини (дробу) дорівнює відношенню ступенів діленого (чисельника) і дільника (знаменника):

(A / b) n = an / bn.

5. При зведенні ступеня в ступінь їх показники перемножуються:

(Am) n = amn.

П р и м і р. (2 · 3 · 5/15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900/225 = 4.

Операції з корінням. У всіх наведених нижче формулах символ означає арифметичний корінь (подкоренное вираз позитивно).

1. Корінь з твору декількох співмножників дорівнює добутку коренів з цих співмножників:

2. Корінь з відносини дорівнює відношенню коренів діленого і дільника:

3. При зведенні кореня в ступінь досить звести до цього степеня подкоренное число:

4. Якщо збільшити ступінь кореня в m раз і одночасно звести в m -у ступінь подкоренное число, то значення кореня не зміниться:

5. Якщо зменшити ступінь кореня в m раз і одночасно витягти корінь m-го ступеня з подкоренного числа, то значення кореня не зміниться:

Розширення поняття ступеня. До сих пір ми розглядали ступеня тільки з натуральним показником; але дії зі ступенями і корінням можуть призводити також до негативних, нульовим і дробовим показниками. Всі ці показники ступенів вимагають додаткового визначення.

Ступінь з негативним показником. Ступінь деякого числа з негативним (цілим) показником визначається як одиниця, поділена на ступінь того ж числа з показником, рівним абсолютної велечіни негативного показника:

Т Тепер формула am: an = am - n може бути використана не тільки при m, більшому, ніж n, але і при m, меншому, ніж n.

П р и м і р. a 4: a 7 = a 4 -7 = a -3.

Якщо ми хочемо, щоб формула am: an = am - n була справедлива при m = n, нам необхідно визначення нульової ступеня.

Ступінь з нульовим показником. Ступінь будь-якого ненульового числа з нульовим показником дорівнює 1.

П р и м і р и. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1.

Ступінь з дробовим показником. Для того, щоб звести дійсне число а в ступінь m / n, потрібно витягти корінь n-го ступеня з m-го ступеня цього числа а:

Про виразах, які не мають сенсу. Є кілька таких виразів.

Випадок 1.

де a ≠ 0, не існує.

Справді, якщо припустити, що x - деяке число, то відповідно до визначення операції ділення маємо: a = 0 · x, т.e. a = 0, що суперечить умові: a ≠ 0

Випадок 2.

- будь-яке число.

Справді, якщо припустити, що цей вислів дорівнює деякому числу x, то згідно з визначенням операції ділення маємо: 0 = 0 · x. Але це рівність має місце при будь-якому числі x, що й треба було довести.

Випадок 3.

Якщо вважати, що правила дій зі ступенями поширюються і на ступеня з нульовим підставою, то

0 0 - будь-яке число.

дійсно,

Рішення . Розглянемо три основних випадку:

1) x = 0 - це значення не задовольняє даному рівнянню

(Чому?).

2) при x> 0 отримуємо: x / x = 1, т.e. 1 = 1, звідки випливає,

що x - будь-яке число; але беручи до уваги, що в

нашому випадку x> 0, відповіддю є x> 0;

3) при x <0 одержуємо: - x / x = 1, т. E. -1 = 1, отже,

в цьому випадку немає рішення.

Таким чином, x> 0.

назад