ВІСНИК КРСУ / № 2, 2002 г.

УДК 621.317 (575.2) (04)

Wavelet-analysis - a new method for time lines analysis is examined. Review of major mathematical ideas and outputs of wavelet-transformations is given. Some specific applications to the apparatus are shown.

Традиційно для аналізу часових рядів використовується перетворення Фур'є, що дає розкладання досліджуваного тимчасового процесу f (t) в ряд по тригонометричним функціям, або в більш загальній формі записи

Коефіцієнти сn є амплітудами гармонійних коливань відповідної частоти і визначаються формулою

Безліч функцій exp (int) утворює ортонормованій базис простору L2 (0,2 p).

Апарат Фур'є-перетворень дає досить прості для розрахунків формули і прозору інтерпретацію результатів, але не позбавлений і деяких недоліків. Перетворення, наприклад, не відрізняє сигнал, який є сумою двох синусоїд, від ситуації послідовного включення синусоид, не дає інформації про переважне розподілі частот в часі, може дати невірні результати для сигналів з ділянками різкої зміни. Досліджувані ряди також далеко не завжди задовольняють вимогу періодичності і більш того, як правило, задані на обмеженому відрізку часу.

Основи вейвлет-аналізу були розроблені в середині 80-х років Гроссманном і Морлі як альтернатива перетворення Фур'є для дослідження тимчасових (просторових) рядів з вираженою неоднорідністю. На відміну від перетворення Фур'є, локалізується частоти, але не дає тимчасового дозволу процесу, і від апарату d -функцій, локалізується моменти часу, але не має частотного дозволу, вейвлет-перетворення, що володіє самонастраивающимся рухомим частотно-тимчасовим вікном, однаково добре виявляє як низько -частотние, так і високочастотні характеристики сигналу на різних часових масштабах. З цієї причини вейвлет-аналіз часто порівнюють з "математичним мікроскопом", що розкриває внутрішню структуру істотно неоднорідних об'єктів.

Зазначена універсальність забезпечила вейвлет-аналізу широке використання в самих різних областях знань. Сімейства аналізують функцій, які називаються вейвлетами, застосовуються при аналізі зображень різної природи, для вивчення структури турбулентних полів, для стиснення великих обсягів інформації, в задачах розпізнавання образів, при обробці і синтезі сигналів, наприклад, мовних, для визначення характеристик фрактальних об'єктів.

Подібно до того, як в основі апарату перетворень Фур'є лежить єдина функція w (t) = exp (it), що породжує ортонормованій базис простору L2 (0,2 p) шляхом масштабного перетворення, так і вейвлет-перетворення будується на основі єдиної базисної функції y ( t), що має солітоноподобний характер і належить простору L2 (R), тобто всій числовій осі.

У західній літературі за цією функцією закріпилася назва "вейвлет", що означає "маленька хвиля", у вітчизняній іноді її називають "сплеском", відображаючи в цій назві і локалізацію, і осциляційного характер поведінки.

При конструюванні базисної аналізує функції y (t) необхідно виконувати такі необхідні умови.

Локалізація - вейвлет повинен бути локалізована поблизу нуля аргументу як в часовому, так і в частотному просторі.

Нульове середнє:

Як наслідок, вейвлет повинен бути знакозмінної функцією.

обмеженість:

Вейвлет повинен бути досить швидко спадною функцією тимчасової (просторової) змінної.

Базис одновимірного дискретного вейвлет-перетворення (ДВП) будується на основі вейвлета y (t) за допомогою операцій зрушень і розтягувань уздовж осі t. Вводячи аналог синусоїдальної частоти і приймаючи для простоти в якості її значень ступеня двійки, отримуємо для функцій базису y jk (t) = 2j / 2 y (2jt-k)

Базис нормований, якщо вейвлет має одиничну норму.

Вейвлет називається ортогональним, якщо сімейство {y jk} представляє ортонормованій базис функціонального простору L2 (R), тобто <Y jk, y lm> = d jl d km. У цьому випадку будь-яка функція f Про L2 (R) може бути представлена у вигляді ряду

де

Безперервне вейвлет-перетворення (НВП) будується аналогічним чином за допомогою безперервних масштабних перетворень і переносів вейвлета y (t) з довільними значеннями масштабного коефіцієнта a і параметра зсуву b:

де символ * позначає операцію комплексного сполучення.

Вейвлет-перетворення можна зупинити для функцій f з L2 (R)

Таким чином, будь-яка функція з L2 (R) може бути представлена суперпозицією масштабних перетворень і зрушень базисного вейвлета з коефіцієнтами, залежними від масштабу (частоти) і параметра зсуву (часу).

Двопараметричного функція W (a, b) дає інформацію про зміну відносного вкладу компонент різного масштабу в часі і називається спектром коефіцієнтів вейвлет-перетворення.

Маючи в своєму розпорядженні вейвлет-спектром, можна розрахувати повну енергію сигналу

і глобальний спектр енергії - розподіл повної енергії за масштабами (скейлограмму вейвлет-перетворення)

Скейлограмма відповідає спектру потужності Фур'є-перетворення сигналу, згладженому на кожному масштабі спектром Фур'є аналізує вейвлета:

де знак ^ позначає Фур'є-образ функції.

Приклади часто використовуваних вейвлетов

На практиці частіше доводиться мати справу з сигналами, задається не аналітичними функціями, а з дискретним набором даних, визначеному на кінцевому тимчасовому інтервалі. В цьому випадку приймається, що при tk £ t <tk + 1, f (t) = sk, k = 1,2, ..., n і формула (3) для коефіцієнтів вейвлет-перетворення модифікується в такий спосіб:

де

Вище наведені приклади часто використовуваних вейвлетов (див. Таблицю). Вибір того чи іншого класу аналізують функцій диктується специфікою завдання, тим, яку інформацію потрібно витягти з сигналу. У ряді випадків за допомогою різних вейвлетів можна більш повно виявити особливості аналізованого сигналу.

Спектр вейвлет-перетворення одновимірного сигналу представляє поверхню в тривимірному просторі. Зазвичай зображення спектра виконується шляхом проектування ліній постійного рівня поверхні на площину зі змінними: параметрами зсуву (по осі абсцис) і масштабом (по осі ординат), з градієнтної заливкою відтінками сірого кольору між лініями. У даній роботі обраний варіант зафарбовування, при якому область максимуму має білий колір, а мінімуму - чорний. Використовується також метод представлення структури спектральних даних за допомогою "скелетона" - ліній локальних екстремумів поверхні W (a, b).

На наведених нижче графіках представлені результати розрахунку спектрів вейвлетпреобразованія часових рядів, побудованих на основі функціональних залежностей. Ряди розраховувалися на кінцевому інтервалі часу. Як аналізує вейвлета використовувався MHAT-вейвлет. Верхня частина малюнка - досліджуваний сигнал, середня - ізолінії поля W (a, b), нижня - скелетон спектра. Зображені як лінії локального максимуму, так і мінімуму. У сідлових точках поверхні відбувається злиття ліній.

Сигнал, поданий на рис. 1, є простим гармонійним коливанням. Картина ліній рівня вказує на періодичний характер сигналу і в мелкомасштабной області являє регулярну систему осередків з почергово повторюваними значеннями максимуму і мінімуму поля W (a, b), положення яких відповідає максимумів і мінімумів сигналу. Кордон розділу осередків збігається з положенням нулів f (t).

Рис.1. Сигнал - синусоїда.

Вертикальний розмір осередків визначає масштаб, який відповідає періоду коливань. Сталість відстаней між лініями скелетона також вказує на синусоїдальний характер сигналу. Спотворення форми осередків поблизу кордонів обумовлено крайовими ефектами внаслідок кінцівки досліджуваного ряду. Великомасштабна частина спектра містить малі значення коефіцієнтів і в даному випадку не інформативна.

В даному випадку є можливість перевірки результатів чисельного розрахунку спектра вейвлет-перетворення і його якісної інтерпретації. Виконуючи інтегрування (3) для функції Y (t) = sin (w t), отримуємо

Таким чином, спектр для гармонійного сигналу також є синусоїдальним коливанням по змінної параметра зсуву, модульованої залежністю

від масштабу (x = aw). Формула (8) пояснює все зазначені вище особливості поведінки спектра в центральній частині рис. 1, вільної від впливу кордону сигналу (розбиття на осередки фіксованого розміру, паралельність ліній скелетона). Вибираючи в якості характерного масштабу значення, при якому

(Рис.2), знаходимо розміри осередків:

Мал. 2. Графік залежності y (x) / y max

На рис. 3 і 4 наведені результати розрахунку для сигналу, що є сумою двох синусоїд з різними періодами, і для варіанту їх послідовного включення. З точки зору Фур'є-перетворення, ці два сигнали невиразні. Вейвлет-аналіз виявляє два характерних масштабу, періодичність проходження осередків зміни знака вказує на періодичний характер сигналів, їх просторовий розподіл показує специфіку кожного з сигналів. Сталість відстаней між лініями екстремумів і їх паралельність свідчать, що складові сигналу - два гармонійних коливання різних частот. Скелетон також дає додаткову до картини изолиний інформацію для уточнення розмірів масштабів і періодів коливань.

Мал. 3. Сигнал - сума синусоїд.

Мал. 4. Сигнал - послідовно включаються синусоїди.

Мал. 5. Сигнал - сума синусоїди і випадкових даних.

Сигнал, поданий на рис. 5, є сумою синусоїди і випадкового сигналу тієї ж амплітуди. Малюнок ілюструє фільтраційні властивості вейвлет-перетворення. Високочастотні складові результуючого сигналу в спектрі зосереджені в основному в області малих значень масштабу, вище представлена ​​дещо спотворена чарункова структура, характерна для гармонійних коливань. Усереднюючи відстані між лініями екстремумів, можна оцінити період вихідного синусоїдального коливання.

На рис. 6 представлені результати розрахунку вейвлет-спектра для затухаючого гармонійного коливання f (t) = sin (w t) exp (-kt). Структура скелетона чітко відстежує синусоидальную складову сигналу навіть в області дуже малих значень коефіцієнтів і дозволяє знайти період коливань. Картина ліній рівня уточнює, що має місце зменшення амплітуди зі зростанням часу.

Рис.6. Сигнал - загасаюче коливання.

Мал. 7. Сигнал - сходинка.

Для цього сигналу також можна отримати аналітичну залежність спектра від параметрів:

де

Типова картина структури даних вейвлет-перетворення при наявності в сигналі особливостей (вістря, скачки, злами і т.п.) приведена на рис. 7. Вихідний сигнал має стрибок в центрі тимчасового інтервалу. Як видно з рис. 7, в околиці особливості має місце прямолінійне сходження двох екстремумів в одну точку під деяким кутом. Інші деталі скелетона обумовлені впливом кінцевих кордонів сигналу. Аналогічний характер поведінки відзначений і для інших типів особливостей.

Мал. 8. Часовий ряд відхилень температури і дані вейвлет-аналізу.

Аналітичне рішення для необмеженої сходинки з особливістю при t = 0 має вигляд:

і дає для локальних по b екстремумів значення x = 1 і x = -1. Як наслідок, рівнянням для екстремумів є рівняння прямої лінії b = ± a

Як зазначалося, географія додатків вейвлет-аналізу дуже різноманітна. Аналіз рядів подій течії Ель-Ніньо і змін індексу Південного коливання, дозволив виявити періодичні компоненти процесів і тимчасові масштаби, на яких дані мають автомодельного структуру [1]. В [2] на основі вейвлет-аналізу виявлено істотна багатомасштабного тимчасових коливань середньорічний глобальної температури повітря за останні 150 років і отримані кількісні оцінки параметра Херста. Робиться висновок про некоректність використання традиційних засобів тестування стаціонарних випадкових процесів без попереднього розділення коливань на нестаціонарну (тренд) і осциляторний частини при вивченні сучасних змін клімату. Прогнозується можливе призупинення подальшого зростання глобального потепління або, принаймні, його уповільнення. Гарна добірка статей для початкового знайомства з ідеями, апаратом і застосуванням вейвлет-перетворень опублікована в журналі [3], де даються посилання і адреси в мережі матеріалів з теорії і додатків вейвлет-аналізу.

Одним з напрямків додатків вейвлет-аналізу є дослідження властивостей фрактальних об'єктів різної природи і, зокрема, визначення фрактальної розмірності. Скелетон вейвлет-перетворення показує наявність прихованого самоподібності в безперервному відображенні або дискретно наборі даних у вигляді розвиненої древообразная структури з розвилками, залежними від масштабу за степеневим законом.

Для часових рядів показник ступеня мультифрактального можна оцінити, використовуючи метод, наведений в [2]. Підраховується число точок максимумів коефіцієнтів вейвлет-перетворення уздовж параметра зсуву в області масштабу, де є виражена гілляста структура скелетона (зазвичай це інтервал a = 1 ÷ 16, якщо прийняти тимчасової крок рівним 1). Тангенс кута нахилу прямої лінії, апроксимуючої залежність lnN (a) / ln a методом найменших значень, дає показник самоподібності (в [2] для нього прийнято назву параметра Херста на ім'я автора, який досліджував структуру дельти Нілу).

Зазначений підхід використовувався нами при вейвлет-аналізі часових рядів відхилень температури від середньомісячних значень за результатами вимірювань на метеорологічної станції Фрунзе (Бішкек) за період 1931-1998 рр. (Рис. 8). Виявилося, що значення параметра Херста Н = 0,9 близько до значення, наведеного в [2] і розрахованим за тією ж методикою (Н = 0,81). Отримані близькі значення параметра Херста на різних часових рядах різної тривалості дозволяють припустити, що динамічних систем, який, зокрема, є кліматична, притаманні приховані внутрішні характеристики, статистично відтворювані на різних часових масштабах.

література

1. Астаф'єва Н.М. Вейвлет-аналіз: основи теорії і приклади застосування // УФН. - 1996. - Т.166. - № 11. - С. 1145-1170.

2. Сонечкін Д.М., Даценко Н.М., Іващенко М.М. Оцінка тренда глобального потепління за допомогою вейвлетного аналізу // Изв. РАН. Фізика атмосфери та океану. - 1997. - Т.33. - № 2. - С.184-194.

3. Компьютерра. - 1999. - № 8.

Назад до змісту випуску