Великий цикл робіт А. Н. Крилова відноситься до розробки методів наближених обчислень, особливо методів чисельного інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. В одній зі своїх статей Олексій Миколайович вказує, що «при виробництві будь-яких чисельних обчислень треба керуватися правилом: точність обчислення повинна відповідати точності даних і тієї практичної потреби, для якої обчислення проводиться. Цим правилом треба керуватися і при чисельному інтегруванні рівнянь; дотримання його значно економить працю і час ».

Перше видання його книги «Наближені обчислення» вийшло в 1911 році, четверте - в 1949 році. У російській літературі ця книга є видатною. З вражаючою ясністю і повнотою викладає Олексій Миколайович доволі різноманітний матеріал, починаючи з вказівок користування таблицями логарифмів і загальних прийомів наближених обчислень і закінчуючи докладним дослідженням різних способів чисельного інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. У більшості глав Олексій Миколайович після критичної оцінки існуючих методів чисельного вирішення питань дає свій власний метод, переваги якого ілюструються численними прикладами. Зазначимо, що в світовій літературі по наближених обчислень метод Адамса-Штермер з доповненнями А. Н. Крилова є найбільш точним і економним.

Важко переоцінити вплив цього твору Крилова на весь культурний вигляд наших проектних організацій і обчислювальних бюро. Всі науковці в галузі механіки повинні завжди пам'ятати вказівки А. Н. Крилова про те, що «міра і число повинні лежати в основі будь-якої справи». Отримання ж числа без знання методів наближених обчислень веде до малопродуктивною, стомлюючої роботі, що характеризує не сутність справи, а некультурність виконує цю роботу. В сучасних математичних дослідженнях домінуюче значення приділяється питанням установлення основних понять, аксіом, доказам існування. Часто теоретична можливість отримання результату будь-яким процесом ототожнюється з практичної можливістю досягнення цього результату. Як відомо всім механікам, це далеко не одне і те ж. Складений Криловим «... курс лекцій про наближених обчисленнях і має на меті показати: дійсно застосовні практичні прийоми і способи обчислення коренів чисельних рівнянь, обчислення певних інтегралів, користування тригонометричними рядами і наближеного рішення диференціальних рівнянь». Пропрацювавши книгу А. Н. Крилова, можна цілком опанувати практично ефективними методами числових розрахунків.

Дві статті Крилова, опубліковані в 1931-1933 роках, доповнюють його курс аналізом наближеного рішення вікового рівняння і рівняння коливань спеціального типу. Рішенням вікового рівняння займалися славнозвісні математики XVIII і XIX століть. досить вказати Лагранжа , Лапласа, Леверье і Якобі . Ці математики довели багато теорем, що відносяться до детерминантам, але найкоротший метод обчислення детермінантів досить високого порядку цими дослідженнями все ж таки не був встановлений. Головна незручність вікового рівняння для системи з k-ступінь свободи полягає в тому, що члени виду (а i 1-λ2 i) стоять по діагоналі детермінанта. При розгортанні такого детермінанта доводиться користуватися методом Леверье або методом Якобі , Сильно ускладнюються при збільшенні порядку детермінанта. А. Н. Крилов, користуючись деякими міркуваннями професора Коркина, являє вікове рівняння в такому вигляді, що члени (а i 1 λ2 i) розташовуються тільки в одному першому стовпці визначника, все ж інші елементи цього визначника - відомі постійні, які визначаються умовами завдання . Отримання вікового рівняння в чисельному вигляді стає значно простіше, так як детермінант легко розкладається за елементами першого стовпчика.

В цілому ряді технічних завдань доводиться мати справу з диференціальними рівняннями виду:

y "+ n 2 y + α f (y) + γ F (y ') = 0, (5)

де n 2 - задана постійна, f (y), F (y ') - відомі цілі функції, які визначаються фізичними умовами завдання, числа α, γ -суть досить малі постійні параметри. А. Н. Крилов розвиває детальну теорію інтегрування рівняння (5), звертаючи особливу увагу на випадки, коли або α = 0 або γ = 0. Основна ідея інтегрування полягає в розкладанні шуканої функції і величини n 2 до лав за ступенями малих параметрів. Так, наприклад, для випадку γ = 0 розкладання до членів порядку k щодо α буде:

Цей метод має суттєву перевагу перед іншими методами, так як в рішенні члени з множниками t напевно виключені. Приклади, прораховані Олексієм Миколайовичем, показують, що його метод набагато ефективніше інших веде до мети.

А. Н. Крилов є автором книги «Про деякі диференціальні рівняння математичної фізики, що мають додатки в технічних питаннях». Зміст книги присвячено головним чином викладу методів інтегрування диференціальних рівнянь, запропонованих класиками математики: Коші , Пуассоном і Фур'є. Для них «головна мета полягала в знаходженні рішення, а не в бездоганно строгому його обгрунтуванні і не в доказі його існування в загальному випадку ...» Крилов ж «... мав на увазі дати слухачам, ознайомивши їх з працями великих авторів, зразки рішень можуть зустрітися в їх практиці питань і з'ясувати можливість і загальність тих явищ, які відомі під загальною назвою «резонансу».

У книзі викладені найбільш важливі і ефективні з точки зору додатків методи математичної фізики: перший і другий методи Пуассона , Застосування теорії функцій комплексного змінного до інтегрування лінійних диференціальних рівнянь, метод Коші , метод Даламбера і метод Фур'є.

Теорія проілюстрована прекрасно підібраними прикладами з найрізноманітніших відділів техніки. Тут і коливання струни при різних граничних умовах, і завдання про поширення тепла в пруті, і поперечні коливання пружного стрижня, і радіальні коливання порожнього циліндра. На всім викладі лежить печать великого майстра. Найважчі питання теорії диференціальних рівнянь в приватних похідних Олексій Миколайович зумів викласти строго науково і абсолютно доступно інженерам.

При викладі найбільших досягнень математики А. Н. Крилов вміє показати «грунт», з якої ці методи і прийоми виросли. Зв'язок з життям народу, зв'язок з технікою і промисловістю встановлюється на зразках самих життєвих і плідних методів. Прикладне значення математичних методів - застосовність їх в найрізноманітніших областях техніки - ось керівна ідея математичних поглядів А. Н. Крилова. Жвавості і наочності викладу істотно допомагають приклади з технічної практики всього світу. Образний, просту мову, чисто російський гумор, якась урочистість і величавість стилю роблять читання робіт Олексія Миколайовича особливо цікавим. Це як би бесіда з великою людиною нашої епохи, багато бачили і по-своєму сприйняли многоликую життя, наблизило теоретичну механіку до реальних потреб що розвивається російської промисловості.