Не будемо довго роздумувати про високий - почнемо відразу з визначення.

Схема Бернуллі - це коли проводиться однотипних незалежних дослідів, в кожному з яких може з'явитися цікавить нас, причому відома ймовірність цієї події () = p. Потрібно визначити ймовірність того, що при проведенні випробувань подія з'явиться рівно раз.

Завдання, які вирішуються за схемою Бернуллі, надзвичайно різноманітні: від простеньких (типу «знайдіть ймовірність, що стрілець потрапить 1 раз з 10») до вельми суворих (наприклад, завдання на відсотки або гральні карти). У реальності ця схема часто застосовується для вирішення завдань, пов'язаних з контролем якості продукції та надійності різних механізмів, все характеристики яких повинні бути відомі до початку роботи.

Повернемося до визначення. Оскільки мова йде про незалежних випробуваннях, і в кожному досвіді ймовірність події однакова, можливі лише два результати:

1. - поява події з імовірністю p;
2. «Не А» - подія А не з'явилося, що відбувається з імовірністю = 1 - p.

Найважливіша умова, без якого схема Бернуллі втрачає сенс - це сталість. Скільки б дослідів ми не проводили, нас цікавить одне і те ж подія, яке виникає з однієї і тієї ж ймовірністю p.

Між іншим, далеко не всі завдання в теорії ймовірностей зводяться до постійних умов. Про це вам розповість будь-який грамотний репетитор з вищої математики. Навіть така нехитра справа, як виймання різнокольорових кульок з ящика, не є досвідом з постійними умовами. Вийняли черговий куля - співвідношення кольорів в ящику змінилося. Отже, змінилися і ймовірності.

Якщо ж умови постійні, можна точно визначити ймовірність того, що подія відбудеться рівно раз з можливих. Сформулюємо цей факт у вигляді теореми:

Теорема Бернуллі. Нехай ймовірність появи події в кожному досвіді постійна і дорівнює р. Тоді ймовірність того, що в незалежних випробуваннях подія з'явиться рівно раз, розраховується за формулою:

де - число сполучень, = 1 - p.

Ця формула так і називається: формула Бернуллі. Цікаво зауважити, що завдання, наведені нижче, цілком вирішуються без використання цієї формули. Наприклад, можна застосувати формули додавання ймовірностей. Однак обсяг обчислень буде просто нереальним.

Завдання. Імовірність випуску бракованого вироби на верстаті дорівнює 0,2. Визначити ймовірність того, що в партії з десяти випущених на даному верстаті деталей рівно будуть без шлюбу. Вирішити завдання для = 0, 1, 10.

За умовою, нас цікавить подія випуску виробів без шлюбу, яке трапляється кожного разу з ймовірністю p = 1 - 0,2 = 0,8. Потрібно визначити ймовірність того, що ця подія відбудеться разів. Події протиставляється подія «не», тобто випуск бракованого вироби.

Таким чином, маємо: = 10; p = 0,8; = 0,2.

Отже, знаходимо ймовірність того, що в партії всі деталі браковані (= 0), що тільки одна деталь без шлюбу (= 1), і що бракованих деталей немає взагалі (= 10):

Завдання. Монету кидають 6 разів. Випадання герба і решки равновероятно. Знайти ймовірність того, що:

1. герб випаде три рази;
2. герб випаде один раз;
3. герб випаде не менше двох разів.

Отже, нас цікавить подія, коли випадає герб. Така ймовірність події дорівнює p = 0,5. Події протиставляється подія «не», коли випадає решка, що трапляється з ймовірністю = 1 - 0,5 = 0,5. Потрібно визначити ймовірність того, що герб випаде раз.

Таким чином, маємо: = 6; p = 0,5; = 0,5.

Визначимо ймовірність того, що герб випав три рази, тобто = 3:

Тепер визначимо ймовірність того, що герб випав тільки один раз, тобто = 1:

Залишилося визначити, з якою ймовірністю герб випаде не менше двох разів. Основна заковика - у фразі «не менше». Виходить, що нас влаштує будь-який, крім 0 і 1, тобто треба знайти значення суми = 6 (2) + 6 (3) + ... + 6 (6).

Зауважимо, що ця сума також дорівнює (1 - 6 (0) - 6 (1)), тобто досить з усіх можливих варіантів «вирізати» ті, коли герб випав 1 раз (= 1) або не випав взагалі (= 0). Оскільки 6 (1) нам вже відомо, залишилося знайти 6 (0):

Завдання. Імовірність того, що телевізор має приховані дефекти, дорівнює 0,2. На склад надійшло 20 телевізорів. Яка подія найімовірніше: що в цій партії є два телевізори з прихованими дефектами або три?

Цікавить подія - наявність прихованого дефекту. Всього телевізорів = 20, ймовірність прихованого дефекту p = 0,2. Відповідно, ймовірність отримати телевізор без прихованого дефекту дорівнює = 1 - 0,2 = 0,8.

Отримуємо стартові умови для схеми Бернуллі: = 20; p = 0,2; = 0,8.

Знайдемо ймовірність отримати два «дефектних» телевізора (= 2) і три (= 3):

\ [\ Begin {array} {l} {P_ {20}} \ left (2 \ right) = C_ {20} ^ 2 {p ^ 2} {q ^ {18}} = \ frac {{20!} } {{2! 18!}} \ cdot {0,2 ^ 2} \ cdot {0,8 ^ {18}} \ approx 0,137 \\ {P_ {20}} \ left (3 \ right) = C_ { 20} ^ 3 {p ^ 3} {q ^ {17}} = \ frac {{20!}} {{3! 17!}} \ cdot {0,2 ^ 3} \ cdot {0,8 ^ { 17}} \ approx 0,41 \ end {array} \]

Очевидно, 20 (3)> 20 (2), тобто ймовірність отримати три телевізори з прихованими дефектами більше ймовірності отримати тільки два таких телевізора. Причому, різниця неслаба.

Невелике зауваження з приводу факториалов. Багато хто відчуває неясне відчуття дискомфорту, коли бачать запис «0» (читається «нуль факторіал»). Так ось, 0! = 1 по визначенню.

. . А найбільша ймовірність в останній завданню - це отримати чотири телевізори з прихованими дефектами. Підрахуйте самі - і переконайтеся.

Дивіться також:

1. Локальна теорема Муавра - Лапласа
2. Формула повної ймовірності
3. Тест до уроку «Додавання і віднімання дробів» (легкий)
4. Рішення задач B12: №448-455
5. Рівняння площини в завданні C2. Частина 1: матриці і визначники
6. Тест за завданнями B14: легкий рівень, 1 варіант